高中物理竞赛 微积分

发布网友 发布时间：2022-04-21 09:26

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热心网友 时间：2023-10-03 06:37

1 路灯距地面高度为h ，身高l 的人以速度v0 在路上匀速行走，见图1畅3畅求人影中头顶的移动速度，并求影长增长的速率．

解 在图示的坐标系中，人坐标为x1 ，人影

头顶坐标为x2 ，设人影头顶的移动速度为v ，影

长增长的速率为u ，则有

v ＝ d x2/d t ， v0 ＝ dx1/dt

  因x2 － x1 为人影长度，因此

u ＝ d（ x2 － x1 ）/dt ＝ d x2/d t － d x1/dt

  由图知

h/x2＝ l/(x2 － x1)

 x2 ＝ x1h/(h － l) 

故有

v ＝ d x2/dt ＝ h d x1/(h － l) d t ＝ h v0/(h － l) 

u ＝ dx2/d t － d x1/dt ＝ l v0/(h － l) 

  2  湖中有一小船，岸边有人用绳子通过一高处的滑轮拉船，如图1畅4 所示，

人收绳的速率为v ．问：

（1）船的运动速度u（沿水平方向）比v 大还是小？

（2）如果保持收绳的速率v 不变，船是否做匀速运动？ 如不是，其加速度如

何？

图2

解 （1）将船看作一质点，在如图所示的坐标系中，船到滑轮绳长为l ，滑轮距

水面的高度h ，依题意

v ＝ ｜dl/dt｜ ，  u ＝ dx/d t

x^2 ＝ l^2 － h^2

有

2 x dx/d t ＝ 2 l dl/dt

d x/dt ＝ l dl /x dt ，  | u | ＝｜ d x/d t｜ ＝ l dl /x dt ＝ l v/x

故  u ＝ － l v/x ＝ － v/cosθ ，

u 为负，表示运动方向向左，｜u ｜＞ v ．

（2）船作变换运动，其加速度为

a ＝ d u/dt ＝ d^2 x/dt^2 ＝ d(－ l v /x)/dt  

＝ － v^2（ l^2 － x^2 ）/x3 

或  a ＝ － v^2tan^2 θ/x ，a 与v 方向相同，船做变加速运动．

3 雷达与火箭发射台的距离为l ，观测沿竖直方向向上发射的火箭，如图3．观测得θ 的规律为θ ＝ kt（k 为常数） ．试写出火箭的运动学方程，并求出当θ＝ π／6 时，火箭的速度和加速度．

图3

解 在图中所示的坐标系，则

y ＝ ltanθ ＝ ltankt

v ＝ dy/d t ＝ lk／cos^2 kt

a ＝ dv/dt ＝ 2 lk^2 tankt • sec2 kt

  当θ ＝ π／6 时

v ＝ 4lk/3

a ＝ 8lk^2 *根号3/9 

因此，火箭在匀加速上升．

热心网友 时间：2023-10-03 06:37

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