福州大学大二理学专业概率论与数理统计期末试卷及答案 (2)

一、 填空题〔每空5分，共6空，30分〕 （1） 随机变量X和Y相互独立，且X~b(1,0.5),Y~b(1,0.5)，则随机变量

Zmax(X,Y)的分布律为 。

答案: P{Z0}0.25,P{Z1}0.75

csin(xy),0x,0y（2） 随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)44 0,其它则c ，Y的边缘密度函数fY(y) 。

答案：21, (21)(cosxcos(x)；

（3） 设X1,X2,X3相互独立，且X1~N(0,2),X2~N(1,3)X3~N(3,1)，则

P{02X13X2X36} 。

答案：(1)0.50.84130.50.3413 （4） 一名射手射击，各次射击是相互独立，正中目标的概率为 p，射击直至击中目标

两次为止。设以 X 表示首次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行的射击次数，那么 X 〔X=m〕和 Y(Y=n) 的联合分布律是 。

答案：Y=n代表第n次射击时二度击中目标，且在第1次、第2次，…，第n–1次射击中恰有一次击中目标。不管X,Y是多少，〔X, Y〕的概率都是p2qn2 ,其中q=1-p， m=1,2,…,n-1，n = 2,3,… 。

41 0va，（5） 设风速V在〔0，a〕上服从均匀分布，即具有概率密度f(v)a

0，其它2设飞机机翼受到的正压力W是V的函数：WkV〔V是风速，k>0 是常数〕。那

么，W的数学期望为E〔W〕= 。

答案： E〔W〕=

kvf(v)dvkv22 二、 计算题〔共5题，合计46分〕

1. (8分)以往数据分析结果说明，当机器调整良好时，产品合格率为98％，机器发生

某种故障时，合格率为55％。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95％。求，某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少?

答案：

11dvka2 a3设A为事件“产品合格〞，B为“机器调整良好〞。 P(A∣B)＝，P(A∣)＝，P(B)＝，P()＝， 需求的概率为P(B∣A)。 由贝叶斯公式

P(BA)P(AB)P(B)P(AB)P(B)P(AB)P(B)0.980.950.970.980.950.550.05



2. 〔8分〕某人进行射击，设每次射击的命中律为0.02，独立射击400次，试求至少

击中两次的概率〔提示:其中泊松分布当λ8时, F(1)=0.0030〕。

答案：将每次射击看成一次试验。

射击中的次数为X，则X~b(400,0.02)； X的分布律为：

400k400kP{Xk}(0.02)(0.98)k0,1,2,400. k于是所求概率为，

P{X2}1P{X0}P{X1}1(0.98)400400(0.02)(0.98)399

要求：

写出上述二项分布计算公式，没有结果也算正确

1）0.997 或者利用泊松定理近似计算：P{X2}1F（

223. 〔8分〕设随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)1e(xy)/2，求Z的概率密度函数。

答案：设ZX2Y2的分布函数为Fz(z)，

则当z0时，Fz(z)0； 当z0时，

2X2Y2Fz(z)P{Zz}P{X2Y2z}2xy2z22Zf(x,y)dxdy1(x2y3)/2edxdy 2x2y2z2

4. 〔10分〕有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk(k=1,2，3，4，5)服从同

1r2/2z2/2derdr1e002所以ZX2Y2的概率密度函数

2z2fz(z)ze,z0,0,z0.

1xe,x0,一指数分布，其概率密度为fx，0，假设将这5个电子装

x0.0,置并联连接组成整机，求整机寿命〔以小时记〕M的数学期望。

答案:

5个电子装置并联，整机寿命MmaxX1,X2,X3,X4,X5，要求N，M的数学期望，关键求N,M的密度函数fmin(x),fmax(x).

x1e,x0, Xkk1,2,3,4,5的分布函数为Fx。

0,x0.因为5个电子装置并联，所以整机寿命MmaxX1,X2,X3,X4,X5的分布函数

为FmaxxFx551ex,x0,，因而N的概率密度为 x0.0,xx451ee,x0,fmaxx，于是N的数学期望为

x0.0,5E(N)xfmaxxdxx1exe04xdx137。 60

（X,Y）5. 〔12分〕设连续型随机变量的概率密度为，求XY。

12y2f(x，y)0答案：

0yx1其它

x230x1012ydy4x fx(x)f(x,y)dy

其它014E(x)x4x3dx

051220y1y12ydx12y(1y)fy(y)f(x,y)dx

0其它13E(y)12y2(1y)ydy

051x112E(xy)dxxy12ydy3x5dx

00021431Cov(XY)E(XY)E(X)E(Y）=

2555012又 E(x2)x24x3dx

03所以 D(x)E(x2)E2(x)2422 ()3575112E(y2)12y2(1y)y2dy12(y4y5)dy

005231 D(y)E(y2)E2(y)()255251Cov(XY)650XY

4D(X)D(Y)217525

三、 证明题〔共 2题，合计24分〕

1. 〔12分〕设随机变量X~N(,2)．试证明X的线性函数YaXb(a0)也服

从正态分布。

答案：X~f(x)12e(xa)222

YaXb单调函数，且值域为(,) yaxb有xybadx1 dyafY(y)f(yb1)aaeyb]2a22[ 1211ay

2ae[y(ba)]222a2即有YaXb~N(ab,(a)2)．

2. 〔12分〕设X、Y是两个连续型随机变量，且相互独立，试证明：

〔1〕E(XY)E(X)E(Y)；〔2〕E(XY)E(X)E(Y)。

答案：设二维随机变量〔X，Y〕的概率密度为f(x,y)，边缘概率密度为fX(x),fY(y)。

E(X+Y)=

(xy)f(x,y)dxdyxf(x,y)dxdyyf(x,y)dxdy

=

xf(x)f(y)dxdyyf(x)f(y)dxdyxf(x)dxf(y)dyf(x)dxyf(y)dy

E〔X〕+E〔Y〕

得证〔1〕。

又，假设X,Y相互独立， E〔XY〕=

xyf(x,y)dxdy=

xyfX(x)fY(y)dxdy

xf(x)dxyf(y)dyE(X)E(Y)XY=

得证〔2〕。