理论力学合成运动习题解 (1)

[习题7-1] 汽车A以v140km/h沿直线道路行驶，汽车B以v2402km/h沿另一叉道行驶。求在B车上观察到的车的速度。 解： 动点：A车。

动系：固连于B车的坐标系。 静系：固连地面的坐标系。

绝对运动：动点A相对于地面的运动。 相对运动：动点A相对于B车的运动。 牵连运动：在动系中，动点与动系的重合点， 即牵连点相对于静系（地面）的运动。当Ａ、 Ｂ两车相遇时，即它们之间的距离趋近于０时， Ａ、Ｂ相重合，Ｂ车相对于地面的速度就是

450Ａ

vv1450vrvABvev2牵连速度。vev2。由速度合成定理得：

vvevr。用作图法求得：

vrvAB40km/h （↑）

故，Ｂ车上的人观察到Ａ车的速度为vrvAB40km/h，方向如图所示。

[习题7-2] 由西向东流的河，宽1000m，流速为s，小船自南岸某点出发渡至北岸，设小船相对于水流的划速为1m/s。问：（1）若划速保持与河岸垂直，船在北岸的何处靠岸？渡河时间需多久？（2）若欲使船在北岸上正对出发点处靠岸，划船时应取什么方向？渡河时间需多久？ 解：（１） 动点：船。

动系：固连在流水上。 静系：固连在岸上。

绝对运动：岸上的人看到的船的运动。 相对运动：船上的有看到的船的运动。 牵连运动：与船相重合的水体的运动。

vBN

vr1m/sCve0.5m/s1000mA绝对速度：未知待求，如图所示的v。 相对速度：vr1m/s，方向如图所示。 牵连速度：ve0.5m/s，方向如图所示。 由速度合成定理得：

AC10001000500(m)，即，船将在北岸下流５００m处靠岸。如图所示，Ａ为tan21000m1000(s)16分40秒

1m/s0出发点，Ｂ为靠岸点。 渡河所花的时间：t1（２）

即船头对准方向为北偏西30 渡河所花的时间：

NBv[习题7-3] 播种机以匀速率v11m/s直线前进。子脱离输种管时具有相对于输种管的速vr1m/s度v22m/s。求此时种子相对于地面的速度，及落地面上的位置与离开输种管时的位置之间水平距离。 解：

动点：种子。

动系：固连于输种管的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：种子相对于地面的速度，未知待求。 相对速度：vrv22m/s 牵连速度：vev11m/s

即v与v1之间的夹角为40.930。 种子走过的水平距离为：

[习题7-4] 砂石料从传送带Ａ落到另一传送带Ｂ的

种ve0.5m/s1000m至Av1600v2250mmve1m/s1200vvr2m/s绝对速度为

v14m/s，其方向与铅直线成300角。设传送带Ｂ与水平面成150角，其速度

为v22m/s，求此时砂石料对于传送带Ｂ的相对速度。又当传送带Ｂ的速度多大时，砂石料的相对速度才能与B带垂直。 解：

动点：砂石料。

动系：固连于传送带Ｂ的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：砂石料相对于地面的速度，vv14m/s。 相对速度：砂石料相对于传送带Ｂ的速度，待求。 牵连速度：传送带Ｂ相对于地面的速度：vev22m/s 当vrvB时，传送带Ｂ的速度为：

[习题7-5] 三角形凸轮沿水平方向运动，其斜边与水平线成角。杆ＡＢ的Ａ端搁置在斜面上，另一端Ｂ在气缸内滑动，如某瞬时凸轮以速度v向右运动，求活塞Ｂ的速度。 解： 动点：Ａ。

动系：固连于凸轮上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ａ相对于地面的速度，待求。 相对速度：Ａ相对于凸轮的速度。 牵连速度：凸轮相对于地面的速度。

因为杆ＡＢ作上下平动，故活塞Ｂ的速度为： vr[习题7-6] 图示一曲柄滑道机构，长OAr的曲vavA柄，以匀vev角速度绕Ｏ轴转动。装在水平杆ＣＢ上的滑槽ＤＥ与水平线成600角。求当曲柄

与水平线的夹角分别为00、300、600时，杆ＢＣ的速度。 解： 动点：Ａ。

动系：固连于ＣＢＤＥ上的坐标系。 动系平动，vAvCBDEvBC 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于ＤＥ的速度。 牵连速度：ＣＢＤＥ相对于地面的速度。

负号表示此时速度方向与图示方向相反，即向左。

vBCsin(300300)|3000，此时往复运动改变方向。 0sin120Ovr900va1200AvevBCvBC1sin(600300)2r3r，向右。 |600r3sin120032[习题7-7] 摇杆ＯＣ带动齿条ＡＢ上下移动，齿条又带动直径为１００ｍｍ的齿轮绕Ｏ１轴摆动。在图所示瞬时，ＯＣ之角速度ω０＝０.５ｒａｄ／ｓ，求这时齿轮的角速度。 解： 动点：C。

动系：固连于ＯＣ杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。 相对速度：Ｃ相对于ＯＣ杆的速度。 牵连速度：ＯＣ杆相对于地面的速度。

OCvr300veva即齿轮的角速度为15.33rad/s

[习题7-８] 摇杆滑道机构的曲柄ＯＡ长l，以匀角速度ω０绕Ｏ轴转动。已知在图所示位置 ＯＡ⊥ＯＯ１，AB2l，求该瞬时ＢＣ杆的速度。

解： 动点：Ａ。

动系：固连于O1D杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ａ相对于地面的速度，val0。 相对速度：Ａ相对于O1D杆的速度。 牵连速度：O1D杆相对于地面的速度。 动点：Ｂ。

动系：固连于O1D杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｂ相对于地面的速度。 相对速度：Ｂ相对于O1D杆的速度。 牵连速度：O1D杆相对于地面的速度。

BC作平动，故

ve900va300Bvr[习题7-9] 一外形为半圆弧的凸轮Ａ，半径ｒ＝３００ｍｍ，沿水平方向向右作匀加速运动，其加速度ａＡ＝８００ｍｍ／ｓ。凸轮推动直杆ＢＣ沿铅直导槽上下运动。设在图所示瞬时，ｖＡ＝６００ｍｍ／ｓ，求杆ＢＣ的速度及加速度。 解：

２

动点：Ｂ。

动系：固连于凸轮Ａ上的坐系。

静系：固连于地面的坐标绝对速度：Ｂ相对于地面的

系。 速度。 300900vavr标Bve相对速度：Ｂ相对于凸轮的速度。 牵连速度：Ｂ相对于凸轮的速度。

凸轮在水平面上作平动，ＢＣ在铅垂方向上作平动。 上式在x轴上的投影为：

(1200)2aa1.73280028214.4(mm/s2)，负号表示方向向下。

300[习题7-10] 铰接四边形机构中的Ｏ１Ａ＝Ｏ２Ｂ＝１００ｍｍ，Ｏ１Ｏ２＝ＡＢ，杆Ｏ１Ａ以等角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ绕Ｏ１轴转动。ＡＢ杆上有一套筒Ｃ，此筒与ＣＤ杆相铰接，机构各部件都在同一铅直面内。求当φ＝６０°时ＣＤ杆的速度和加速度。 解：

动点：Ｃ。

动系：固连于ＡＢ杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｃ相对于地面的速度。 相对速度：Ｃ相对于ＡＢ杆的速度。 牵连速度：ＡＢ杆相对于地面的速度。

[习题7-11] 具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构，用来使滑道ＣＤ获得间歇往复运动。若已知曲柄ＯＡ作匀速转动，其转速为ω＝４πｒａｄ／ｓ，又Ｒ＝ＯＡ＝１００ｍｍ，求当曲柄与水平轴成角φ＝３０°时滑道ＣＤ的速度及加速度。 解：

动点：Ａ。

动系：固连于滑道ＣＤ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于滑道ＣＤ的速度。 牵连速度：滑道ＣＤ相对于地面的速度。

加速度在方向的投影：

[习题7-12] 销钉Ｍ可同时在槽ＡＢ，ＣＤ内滑动。已知某Ｂ沿水平方向移动的速度

300A300ar瞬时杆Ａ

aeaa300900300arnｖ１＝８０ｍｍ／ｓ，加速度ａ１＝１０ｍｍ／ｓ２；杆ＣＤ沿铅直方向移动的速度ｖ２＝６０ｍｍ／ｓ，加速度ａ２＝２０ｍｍ／ｓ２。求该瞬时销钉Ｍ的速度及加速度。 解：

动点：Ｍ。

动系：固连于ＡＢ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：Ｍ相对于ＡＢ的速度。 牵连速度：ＡＢ相对于地面的速度。

[习题7-13] 水力采煤用的水枪可绕铅直轴转动。在某

瞬时角速度为ω，角加速度为零。设与转动轴相距ｒ处的水点该瞬时具有相对于水枪的速度ｖ１及加速度ａ１，求该水点的绝对速度及绝对加速度。 解：

动点：水点。

动系：固连于水枪上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：水点相对于地面的速度。 相对速度：水点相对于水枪的速度。

牵连速度：水枪上与水点相重点相对于地面的速度。

[习题7-14] 半径为ｒ的圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心Ｏ的铅直轴ｚ转动。一小球Ｍ悬挂于盘边缘的上方。设在图示瞬时圆盘的角速度及角加速度分别为ω及α，若以圆盘为动参考系，试求该瞬时小球的科氏加速度及相对加速度。 解：

动点：小球Ｍ。

动系：固连于圆盘上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：小球Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：小球Ｍ相对于圆盘的速度。

牵连速度：圆盘上与小球Ｍ相重点相对于地面的速度。

aC2vrsin2rsin9002r2，方向如图所示。

[习题7-15] 一半径ｒ＝２００ｍｍ的圆盘，绕通过Ａ点垂直于图平面的轴转动。物块Ｍ以匀速率ｖｒ＝４００ｍｍ／ｓ沿圆盘边缘运动。在图示位置，圆盘的角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ，角加速度α＝４ｒａｄ／ｓ，求物块Ｍ的绝对速度和绝对加速度。 解：

２

动点：物块Ｍ。

动系：固连于圆盘上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：物块Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：物块Ｍ相对于圆盘的速度。

牵连速度：圆盘上与物块Ｍ相重点相对于地面的速度。

[习题7-16] 大圆环固定不动，其半径Ｒ＝０.５ｍ，小圆环Ｍ套在M大圆环上，如图所示。当θ＝３０°时，ＡＢ杆转动的角速度ω＝２／ｓ，角加速度α＝２ｒａｄ／ｓ，试求该瞬时：（１）Ｍ沿大圆环滑的速度；（２）Ｍ沿ＡＢ杆滑动的速度；（３）Ｍ的绝对加速度。 解：

２

vr杆ＡＢ及1350ｒａｄ

动

veva动点：小圆环Ｍ。

动系：固连于ＡＢ杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：小圆环Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：小圆环Ｍ相对于ＡＢ杆的速度。

牵连速度：ＡＢ杆上与小圆环Ｍ相重点相对于地面的速度。

vave1,7322(m/s) （Ｍ沿大圆环滑动的速度）

cos3000.8660vrvasin3020.51(m/s)（Ｍ沿ＡＢ杆滑动的速度）

Aaen300M300300naaraaaeOaaC如图所示，aaaearaC在aC方向上的投影为：

n22222aa(aa)(a)828.25(m/s) （Ｍ的绝对加速度）。 aa2arctanaarctan14.040 ，如图所示。 n8aa[习题1-17] 曲柄ＯＡ，长为２ｒ,绕固定轴Ｏ转动；圆盘半径为r,绕Ａ轴转动。已知

r100mm，在图示位置，曲柄ＯＡ的角速度14rad/s,角加速度13rad/s2，圆盘相

对于ＯＡ的角速度26rad/s，角加速度24rad/s。求圆盘上Ｍ点和Ｎ点的绝对速度和绝对加速度。 解：

2动点：Ｍ、Ｎ。

动系：固连于ＯＡ杆上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ｍ、Ｎ相对于地面的速度。 相对速度：Ｍ、Ｎ相对于ＯＡ杆的速度。

牵连速度：ＯＡ杆（包括其延长线）上与Ｍ、Ｎ相重点相对于地面的速度。

Ｍ点的速度：

vavevr1200600600(mm/s)（方向与ve相同）

Ｍ点的加速度： Ｎ点的速度： Ｎ点的加速度：

[习题1-18] 在图示机构中， 已知ＡＡ′＝ＢＢ′＝ｒ＝０.２５ｍ， 且ＡＢ＝Ａ′Ｂ′。连杆ＡＡ′以匀角速度ω＝２ｒａｄ／ｓ绕Ａ′转动，当θ＝６０°时，槽杆ＣＥ位置铅直。求此时ＣＥ的角速度及角加速度。 解：

OveMvrMvavrN900500ve3600900900rA2rO动点：Ｄ。

动系：固连ＣＥ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。

绝对速度：Ｄ相对于地面的速度。 相对速度：Ｄ相对于ＣＥ杆的速度。

牵连速度：ＣＥ杆上与Ｄ相重点相对于地面的速度。

aaaearaC在aC方向的投影为：

[习题1-19] 销钉Ｍ可同时在ＡＢ、ＣＤ两滑道内运动, ＣＤ为一圆弧形滑槽，随同板以匀角速01rad/s绕Ｏ转动；在图示瞬时，Ｔ字杆平移的速度

v100mm/s，加速度a120mm/s。试求

2该瞬时销钉Ｍ对板的速度与加速度。

解：

动点：Ｍ。

动系：固连于Ｔ形板上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：Ｍ相对于Ｔ形板的速度。

牵连速度：Ｔ形板上与Ｍ相重点相对于地面的速度。

vrvasin6002000.866173.2(mm/s)（相对于ＡＢ） araasin600207.85(mm/s2)（相对于ＡＢ）

若取 动点：Ｍ。

动系：固连于方形板上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：Ｍ相对于方形板的速度。

牵连速度：方形板上与Ｍ相重点相对于地面的速度。

vrvevaM600O则：

销钉相对于ＣＤ滑槽（方形板）的速度：

aaaearaC在aa方向上的投影为：

[习题1-20] 已知点Ｍ在动坐标系x2O1y2平面内运动，其运动方程为x23t4t，

2y24t22t，x2与x1（x1轴与x轴保持平行）的夹角2t，点O1的运动规律为x13t，y14t5t2。试用建立运动方程式及合成运动两种方法求点Ｍ的速度。

解：

方法一：建立运动方程法。

对于静坐标系而言，动点Ｍ的坐标为： 方法二：合成运动法。

yy2yy1M(x2,y2)x2动点：Ｍ。 动系：x1O1y1 静系：xOy。

绝对速度：Ｍ相对于xOy坐标系的速度。 相对速度：Ｍ相对于x1O1y1坐标系的速度。

牵连速度：x1O1y1上与Ｍ相重点相对于xOy的速度。 牵连速度的水平分量： 牵连速度的竖直分量：

Ｍ点相对于x1O1y1坐标的横坐标为： 相对速度的水平分量为： Ｍ点速度的水平分量：

Ｍ点相对于x1O1y1坐标的纵坐标为： 相对速度的竖直分量为： Ｍ点速度的竖直分量：

y1Ox1O1xx1x [习题7-21] 板ＡＢＣＤ绕ｚ轴以ω＝０.５ｔ（其中ω以ｒａｄ／ｓ计，ｔ以ｓ计）的规律转动，小球Ｍ在半径ｒ＝１００ｍｍ的圆弧槽内相对于板按规律ｓ＝５０πｔ/3（ｓ以ｍｍ计，ｔ以ｓ计）运动，求ｔ＝２ｓ时，小球Ｍ的速度与加速度。

解： 动点：Ｍ。

动系：固连于板ABCD上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：Ｍ相对于板ABCD的速度。

牵连速度：板ABCD上与Ｍ相重点相对于地面的速度。 小球绕CD中点在圆弧槽滑动的角速度为：

cosve13.40.2481，(ve,va)75.630。 va54[习题7-22] 半径为ｒ的空心圆环刚连在ＡＢ轴上，ＡＢ的轴线在圆环轴线平面内。圆环内充满液体，并依箭头方向以匀相对速度ｕ在环内流动。ＡＢ轴作顺时针方向转动（从Ａ向Ｂ看），其转动的角速度ω为常数，求Ｍ点处液体分子的绝对加速度。

解： 动点：Ｍ。

动系：固连于空心圆环上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ｍ相对于地面的速度。 相对速度：Ｍ相对于空心圆环的速度。

牵连速度：空心圆环上与Ｍ相重点相对于地面的速度。

arccosaaaxa； arccosay； arccosaz。 aaaaaa[习题7-23] 瓦特离心调速器在某瞬时以角速度

0.5rad/s、角加速度1rad/s2绕其铅直轴转

动，与此同时悬挂重球Ａ，Ｂ的杆子以角速度

10.5rad/s、角加速度10.4rad/s2绕悬挂点转

动，使重球向外分开。设l500mm，悬挂点间的距离

2e100mm，调速器的张角300，球的大小略去不

计，作为质点看待，求重球Ａ的绝对速度和加速度。

解： 动点：Ａ。

动系：固连于瓦特离心器上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：Ａ相对于地面的速度。 相对速度：Ａ相对于瓦特离心器的速度。

牵连速度：瓦特离心器上与Ａ相重点相对于地面的速度。

arccosaaz392.5arcos64.610。 aa915.5'[习题7-24] 套筒Ｍ套在杆ＯＡ上，以x30200sin2t沿杆轴线运动，x'以mm计，t以s0计。杆ＯＡ绕Oz轴以n60r/min的转速转动，并与Oz轴的夹角保持为30。求t1s时，Ｍ的速度及加速度。

zz解： 动点：M。

动系：固连于ＯＡ上的坐标系。 静系：固连于地面的坐标系。 绝对速度：M相对于地面的速度。 相对速度：M相对于ＯＡ的速度。

牵连速度：ＯＡ上与M相重点相对于地面的速度。

x300vrvey300AnMMOx'