【小学精品奥数】体育比赛.学生版

体育比赛问题

知识点拨

体育比赛中的数学

对于体育比赛形式的逻辑推理题，注意“一队的胜、负、平”必然对应着“另一队的负、胜、平”。有时综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以及连接这些点的线来表示，从整体考虑，通过数量比较、整数分解等方式寻找解题的突破口。

【例 1】 三年级四个班进行足球比赛，每两个班之间都要赛一场，那么每个班要赛几场？一共要

进行多少场比赛？ （如果参赛队每两队之间都要赛一场，这种比赛称为单循环赛） 【考点】体育比赛 【难度】1星 【题型】解答

【解析】 （法一）题意要求每两个点之间都连一条线段．先考虑点A(如图)，它与B、C、D三点

能且只能连接三条线段AB、AC、AD；同样，从点B也可以连出三条线段BA、BC、从点C可以连出三条线段CA、从点D可以连出三条线段DA、因CB、CD；DC．BD；DB，此，从一个点可以连三条线段．从每个点都连出三条线段，共有四个点．3412(条) 注意到线段AB既是由A点连出的，也是由B点连出的，并且每一条线段都是这样(如图)，所以，线段的总数应为：6(条)．

（法二）从点A引出三条线．AB、AC、AD，为避免重复计数，从B点引出的线段只计BC、BD两条，由C点引出的只有CD一条．因此，线段的总数为3216(条)． 通过例题的讲解，对于这个问题，我们就可以很轻松地解决了．一共有四个队，每个队都要比赛413场，一共有比赛3426场．

【点拨】我们可以将上面的问题如下表述：下面的四个点，每两个点之间都连一条线段，那么，从

一个点可以连出几条线段？一共可以连多少条线段？

例题精讲

ADBCADBC

【答案】6场

【巩固】 市里举行足球联赛，有5个区参加比赛，每个区出2个代表队．每个队都要与其他队赛

一场，这些比赛分别在5个区的体育场进行，那么平均每个体育场都要举行多少场比赛？ 【考点】体育比赛 【难度】1星 【题型】解答

【解析】 一共有5210（个）队参加比赛，共赛10(101)245（场），平均每个体育场都要

举行4559（场）比赛．

【答案】9场

【巩固】 二年级六个班进行拔河单循环赛，每个班要进行几场比赛？一共要进行几场比赛？ 【考点】体育比赛 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 每个班要进行5场，一共要进行65215（场）比赛． 【答案】每个班要进行5场，一共要进行15场比赛

【巩固】 20名羽毛球运动员参加单打比赛，两两配对进行单单循环赛，那么冠军一共要比赛多少

场？ 【考点】体育比赛 【难度】1星 【题型】解答

【解析】 假设20名羽毛球运动员中的甲是冠军，那么甲与其他19名运动员都赛过了，也就是一共

赛了19场．

【答案】一共赛了19场

【例 2】 8只球队进行淘汰赛，为了决出冠军，需要进行多少场比赛？ 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 方法一：8进4进行了4场，4进2进行2场，最后决赛是1场，因此共进行了4217（场） 比赛．

方法二：每进行一场比赛就淘汰一支球队，最后只剩下冠军了，也就是说淘汰了7只球队，

因此进行了7场比赛．

【答案】7场比赛

【例 3】 学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了36场

比赛，有 人参加了选拔赛．

A.8 B.9 C.10 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】2008，第四届，IMC国际数学邀请赛，新加坡，初赛

【解析】 三个人比赛，可以比赛3223场；如果四个人比赛，可以比赛4326 场；如果

有五个人比赛，那么可以比赛54210场；如果有9个人比赛，那么可以比赛场，所以答案是B． 98236【答案】答案是B

【巩固】 朝阳区的几个学校举行篮球比赛，每两个学校都要赛一场，共赛了28场，那么有几个学

校参加了比赛？ 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 假设有n个学校参加比赛，那么就有n(n1)2场比赛，现在已知共赛了28场，那么

n8，也就是有8个学校参加了比赛．

【答案】8个学校

【例 4】 有8个选手进行乒乓球单循环赛，结果每人获胜局数各不相同，那么冠军胜了几局？ 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 每个选手都要参加7场比赛，而且每人获胜局数各不相同，8个选手进行乒乓球单循环赛，

所以每人获胜的局数分别为0~7局，那么冠军胜了7局．

【答案】冠军胜了7局

【例 5】 A、B、C、D、E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘．到现在为止，A已

经赛4盘，B赛3盘，C赛2盘，D赛1盘．问：此时E同学赛了几盘？ 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 画5个点表示五位同学，两点之间连一条线段表示赛一场，建议教师让学生动手按要求画

一画．

ADEBC

根据题意，A已经赛4盘，说明A与B、C、D、E各赛一盘，A应与B、C、D、E点相连．D赛1盘，是与A点相连的．B赛3盘，是与A、C、E点相连的．C赛2盘，是

与A、B点相连的．从图上E点的连线条数可知，E同学赛了2盘．

【答案】E同学赛了2盘

【巩固】 八一队、北京队、江苏队、山东队、广东队五队进行象棋友谊赛，每两个队都要赛一场，

一个月过后，八一队赛了4场，北京队赛了3场，江苏队赛了2场，山东队赛了1场．那么广东队赛了几场？ 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 八一队赛了4场，说明八一队和其它四队都赛过了．

山东队赛了1场，说明只和八一队赛过．

北京队赛了3场，说明与八一队、江苏队、广东队赛过． 江苏队赛了2场，说明与八一队、北京队赛过． 由此可知，广东队只和八一队、北京队赛过，赛了2场．

【答案】赛了2场

【巩固】 A、B、C、D、E、F六人赛棋，采用单循环制。现在知道：A、B、C、D、E五人已经分

别赛过5．4、3、2、l盘。问：这时F已赛过 盘。 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 3盘。 【答案】3盘

【例 6】 趣味滑冰锦标赛最后进行的是花样滑冰双人滑的表演，规定男女双方都不能和自己的原

搭档在一起表演．男士用A、B、C表示，女士用甲、乙、丙表示．已知前面表演过程中A和甲一起滑过，B和丙一起滑过，C和甲一起滑过，B和乙一起滑过，C的新搭档不可能是丙，那么乙的新搭档是谁？ 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据题意可列出以下表格，“×”表示二者不可能是新搭档．

由上图可以发现甲的新搭档是B，C的新搭档不可能是丙，所以丙的新搭档是A，乙的新搭档是C．

【答案】乙的新搭档是C

【例 7】 东东、西西、南南、北北四人进行乒乓球单循环赛，结果有三人获胜的场数相同．问另

一个人胜了几场？

【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 东东、西西、南南、北北四人进行单循环赛，则每人都赛3场，共赛3426(场)．如

果其中有三人都胜3场，则至少进行9场比赛，这是不可能的；如果其中有三人都胜2场，那么6场比赛中的获胜者都在这三个人中，每人胜了2场，另一个人胜0场；如果其中有三人都胜1场，那么6场比赛中的3场这三人各胜1场，另外3场的胜者必是第四个人，故另一个人胜3场；三个人都胜0场也是不可能的．因此，如果有3人获胜的场数相同，那么另一个人可能胜0场，也可能胜3场．

【答案】另一个人可能胜0场，也可能胜3场

【巩固】 东东、西西、北北三人进行乒乓球单循环赛，结果3人获胜的场数各不相同．问第一名

胜了几场？ 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 三人进行单循环赛，即每两人都要赛一场，共进行3223（场）比赛．每场比赛都有

一人获胜，每人都赛2场．由题意知三人获胜的场数各不相同，所以三人获胜的场数分别为2、1、0．显然，第一名是胜了2场．

【答案】第一名是胜了2场

【例 8】 参加世界杯足球赛的国家共有32个（称32强），每四个国家编入一个小组，在第一轮单

循环赛中，每个国家都必须而且只能分别和本小组的其他各国进行一场比赛，赛出16强后，进入淘汰赛，每两个国家用一场比赛定胜负，产生8强、4强、2强，最后决出冠军、亚军、第三名，第四名．至此，本届世界杯的所有比赛结束． 根据以上信息，算一算，世界杯的足球赛全程共有几场？ 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 单循环赛中，有3248（个）组．每组4个队． 每组四个队中，每个队要与其他3队

都比赛1场，每个队就比3场．因为每场比赛要2个队．所以1组里有4326（场）．有．进入淘汰赛，有16个队，淘汰赛每比1场就淘汰18个组，单循环赛就有8648（场）

个队，最后决出冠军1个队，就比了16115场，还要决出第三名，第四名，又多了1场．淘汰赛就有15116场．世界杯的足球赛全程共有481664（场）．

【答案】64场

【例 9】 四个人进行象棋单循环赛，规定胜者得2分，负者得0分，和棋双方各得1分，比赛结束

后统计发现，四个人的得分和加起来一定是多少？ 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 四个人循环比赛总共比赛4326（场），每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和

一定是2分，因此最终四个人的得分加起来一定是2612（分）．

【答案】12分

【巩固】 五个人进行象棋单循环赛，规定胜者得2分，负者得0分，和棋双方各得1分，比赛结束

后统计发现，五个人的得分和加起来一定是多少？ 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 四个人循环比赛总共比赛54210（场），每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和

一定是2分，因此最终四个人的得分加起来一定是21020（分）．

【答案】20分

【例 10】 五个足球队进行循环比赛，即每两个队之间都要赛一场．每场比赛胜者得2分、负者得0分、打平两队各得1分．比赛结果各队得分互不相同．已知：⑴第1名的队没有平过；⑵第2名的队没有负过；⑶第4名的队没有胜过．问全部比赛共打平了 场． 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】填空

【解析】 5支球队进行循环赛，共需要打10场，产生总分20分．由⑴、⑵知第1名负于第2名，那

么第1名最多得236分．由于各队得分互不相同，而且6543220，所以5支球队得分依次为6分、5分、4分、3分、2分．第一名没有平过，又只得到了6分，因此负过一场，而第二名的队没有负过，因此第一名应该负于第二名，胜3，4，5名．第二名得了5分，其中胜第一名得了2分，又没有负过，因此和3，4，5名皆为平局．第四名得了3分，其中输给了第一名，平了第二名，没有胜过，因此和第3，5名都是平局．第三名得了4分，输给了第一名，平了2，4名得2分，因此胜了第5名得2分．第五名显然只和第2，4名平了，其余皆负．综上，所有比赛平了5场，分别是2-3，2-4，2-5，3-4，4-5．

【答案】平了5场

【巩固】 一次象棋比赛共有10名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余

9名选手各赛1盘，每盘棋的胜者得1分，负者得0分，平局双方各得0.5分．结果，甲队选手平均得4.5分，乙队选手平均得3.6分，丙队选手平均得9分．那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少？ 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由题意可知，这次比赛共需比9872145(盘)．

因为每盘比赛双方得分的和都是1分(101或0.521)，所以10名选手的总得分为

14545(分)．每个队的得分不是整数，就是“&.5”这样的小数．由于乙队选手平均得3.6

分，3.6的整数倍不可能是“0.5”这样的小数．所以，乙队的总得分是18或36． 但363.610，而三个队一共才10名选手(矛盾)．所以乙队的总分是18分，有选手

183.65(名)．甲、丙两队共有5名选手．

由于丙队的平均分是9分，这个队总分只可能是9分，18分(不可能是27分)．因为

271845，甲队选手总得分为0分)，丙队选手人数相应为1名、2名，甲队选手人数

相应为4名，3名，经过试验，甲队4名选手，丙队1名选手．

【答案】甲队4名选手，丙队1名选手，乙队5名选手

【巩固】 四名同学参加区里围棋比赛，每两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得2分，平一

局得1分，负一局得0分．如果每个人最后得的总分都不相同，且第一名不是全胜，那么最多有几局平局？ 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 四人共赛6局，总分为6212（分），因为总分各不相同，分配得：125421或

125430．平局最多的应该是5、4、2、1的情况．总分是奇数的必有一局平局，

当得分是5分、1分的同学分别与得分是4分、2分的同学打平后，得分是4分、2分的同学就还剩下3分、1分，互相打平就正好．所以平局最多是3局．

【答案】平局最多是3局

【例 11】 A、B、C、D、E五人参加乒乓球比赛，每两个人都要赛一盘，并且只赛一盘，规定

胜者得2分，负者不得分，已知比赛结果如下：①A与E并列第一名②B是第三名③C和D并列第四名。求B得多少分？ 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 先计算一下有多少场比赛？总分是多少？再确定第一名的得分．

共五名选手参加比赛，每人都要赛4场，每场比赛不是得2分就是得0分，所以每名选手的总分一定是0、2、4、6、8五数之一．四场都负得0分，四场都胜得8分，因此，B的得分比0分多，比8分少（他不是第一，也不是第四），只可能是2、4、6三数之一．还不要忘记两个并列第一，两个并列第四这两个重要条件．

因为五个人一共比赛45210（场），所以10场球一共得分：21020（分）．有两个并列第一，两个并列第四，决定了没有全胜的，也没有全败的，也就是没有得8分的，也没有得0分的，得分情况只有2、所以，并列第一的一共得：（分），62126分三种．4、

并列第四的一共得：224分，第三名得20(124)4（分），所以，B得4分．

【答案】B得4分

【巩固】 班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局．每局胜者得2分，平者各得1分，

负者得0分．已知甲、乙、丙三名同学得分分别为3分、4分、4分，且丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局，那么丁同学得分是多少？ 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 个同学共赛4326（局），结合条件“丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局”，

分解三名同学分数配比：甲：3121（一胜一平一负）；乙：41221（一胜二平）或（二胜一负）；丙：422（二胜一负）；观察可知有四胜二负，所以丁同学负了二场，又因为有三平，所以丁同学平了一场．则丁同学得：111（分）

【答案】1分

【巩固】 甲、乙、丙、丁四人进行象棋比赛，每两个都比赛一场，规定胜者得2分，平局各得1分，

输者得0分．结果甲第一，乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙得几分？ 【考点】体育比赛 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】走美杯

【解析】 共四人参加比赛，每人都要赛3场，每场无论分出胜负还是打平，两人的得分和一定是2分，四个人循环比赛总共比赛4326（场），因此最终四个人的得分加起来一定是．每名选手的总分一定是0~6七个数之一．又由题意，“甲第一，乙、丙2612（分）

并列第二，丁最后一名”，可知甲得6分时，乙、丙只能各得3分，丁得0分．

如果乙、丙得分大于3分时，根据四个人的总得分是12分，可得甲得分小于等于4分，这种情况不可能；如果乙、丙得分小于3分时，根据四个人的总得分是12分，可得甲得分大于等于7分，这种情况也不可能；所以乙得3分．

【答案】乙得3分

【例 12】 10个队进行循环赛，胜队得2分，负队得1分，无平局．其中有两队并列第一，两队并

列第三，有两个队并列第五，以后无并列情况．请计算出各队的得分． 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛,决赛,二试

【解析】 为简单起见，假定胜队得1分，负队不得分，其它条件不变，此种情况得到的答案，各队

都加上9分就是原题答案．

因为共赛45场，每队赛9场，所以共产生45分．由两队并列第一，推知并列第一的队至少各输一场．

⑴假设并列第一的队各输1场，各得8分．如果并列第三的两个队各输两场，各得7分，那么前四名的队共输6场，而它们之间恰好赛了6场，所以前四名的队胜了后面的所有队．由此推知，并列第五的队至少各输5场，最多各得4分，那么后四名的队共得45(874)27分，而后四名的得分只能是3、2、1、0，其和不等于7.所以并列第

三的两个队不能各输两场，而是各输三场，各得6分．此时，后6名的得分只能是5、5、4、2、1、0，

10个队的得分依次为：8、8、6、6、5、5、4、2、1、0.

⑵假设并列第一的队各输2场，各得7分，那么并列第三的队只能各输3场，各得6分（如果各输4场，后八名的队的得分只能是5、5、4、4、3、2、1、0，总分不到45分），后六名的得分只能是5、5、4、3、2、0.此时10个队的得分依次为：7、7、6、6、5、5、4、3、2、0.

⑶假设并列第一的队至少各输3场，则10个队的总分之多为

665544321036分，不合题意．

综上所述，各队得分为：17、17、15、15、14、14、13、11、10、9；

或：16、16、15、15、14、14、13、12、11、9．

【答案】各队得分为：17、17、15、15、14、14、13、11、10、9；

或：16、16、15、15、14、14、13、12、11、9．

【巩固】 四个同学参加网上棋类比赛，每两个人都要赛一场．规定如下：胜者得2分，负者不得

分，平局得1分．比赛结果如下：两名同学并列第一名，两名同学并列第三名．已知比赛中有平局，那么第一名同学得多少分？ 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 四个同学共赛4326（场），总分是6212（分）．每名选手的总分一定是0~6七

个数之一，因为有两名同学并列第一名，所以第一名的同学不可能都是全胜得6分，而且第一名的分数要大于3分．下面进行枚举．

如果第一名的同学得5分，那么第三名的同学得(1252)21（分），也就是第一名胜两场，平一场，第三名平一场，负两场，各得1分；

如果第一名的同学得4分，那么第三名的同学得(1242)22（分），也就是第一名胜一场，平两场，第三名负一场，平两场，各得2分； 所以第一名同学得分为4分或5分

【答案】第一名同学得分为4分或5分

【例 13】 四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分．比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至少有几局平局？ 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】全国小学数学奥林匹克

【解析】 （法一）四人共赛6局，总分为6212（分），因为没有人全胜，所以得分最高的选手

最多是两胜一平得5分，因此在另外的3局比赛中：

1. 如果全部是平局，则4个人的分数只能分别为5，3，2，2，就会出现分数相同的情

况，如图1（图中箭头表示有胜负，箭头指向输者，虚线表示平局）

2. 如果有2局是平局，则可以出现满足条件的情况：4人分数分别为5，4，2，1，如

图2

⑤AD②⑤AD①②BC③②BC④

所以至少有3局是平局． （法二）四人共赛6局，

如果6局都是平局，那么四人总分相同，不合题意．

如果有5局平局，那么除有胜负的两人外，另两人总分相同，不合题意．

如果有4局平局，那么可分为三种情况：一个人胜两局，输的两个人总分相同；一个人输两局，胜的两个人总分相同；四个人中两人胜两人负，两个胜的人总分相同，两个负的人总分相同，都不合题意．

3局平局是可能的，如下图所示，连线表示平局，箭头指向的一方为负方，图中数字为各

人总分．

②①④⑤

【答案】至少有3局是平局

【例 14】 A、B、C、D、E、F六个足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且

只赛一场．胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分．比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，获得第3名的队得了8分，那么这次比赛中共有 场平局． 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级组，决赛

【解析】 六个足球队进行单循环比赛，总共有5432115(场)比赛．

平局的两队总分为112(分)，非平局总分为033(分)，因此，如果全是非平局总分有15345(分)，否则多一场平局总分减少1分．

由于第3名得了8分，最后一名至少0分，所以各队得分的构成的等差数列的公差不超过

2832分，只可能为1分或2分．

3如果各队得分的构成的等差数列公差为1，则这六个队的总分为（87）345(分)，则有0场平局，每场比赛每队都得0分或3分，则每支队的得分都应是3的倍数，与第3名得8分不符．

如果各队得分的构成的等差数列公差为2，则这六个队的总分为（86）342(分)，有

45423(场)平局，符合题意．所以这次比赛中共有3场平局．

【答案】共有3场平局

【巩固】 五个运动队参加商业足球比赛．原计划每两个队都要比赛一场，但由于经费不足，取消

了其中一些比赛场次，最终发现各个队所得的积分各不相同，而且从积分表上看，没有一个队的积分为0.积分的计算办法是：每赢一场得3分，每输一场得0分，每平一场得1分．试问，这次比赛最少可能有 场． 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】武汉明心奥数挑战赛

【解析】 要使比赛总场次越少，可以总分尽量少．由于每队得分不同，且没有0分的，因此，各队

得分至少为1234515分，即总分至少为15分．当总分为15分时，各队得分分别为1、2、3、4、5分，可以看出其中有平局，所以不是每场比赛都产生3分，那么比赛的场次多于1535场，即至少为6场．可以设计比赛情况如图：

A15ED4B2C3（A少可能

．上面的比赛情况满足题意，所以这次比赛最B表示平局；AB表示A赢B）

有6场．

【答案】最少可能有6场

【巩固】 三（一）班的同学在周末举行象棋比赛，规定赢1局得3分，输1局倒扣1分，平1局各得

1分．小晴共参加了6局比赛，结果胜了3局，平了1局，那么小晴的最后得分是多少？ 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 胜3局得到：339（分），平1局得到111（分），输了6312局，扣了212（分）．最后得分是9128（分）

【答案】8分

【巩固】 A、B、C、D四个队举行足球循环赛（即每两个队都要赛一场），胜一场得3分，平

一场得1分，负一场得0分．已知：⑴比赛结束后四个队的得分都是奇数；⑵A队总分第一；⑶B队恰有两场平局，并且其中一场是与C队平局．那么，D队得 分． 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】我爱数学夏令营

【解析】 由于B队得分为奇数，而平两局得2分，所以另外一场是胜局，即B队两平一胜，得分为

5分；

，A队得分比B队高，至少得7分，又A队不能全胜（否则A队胜B队，B队应该负一场）所以A队恰得7分，即A队两胜一平，平的那一场是与B队的比赛，胜了C、D两队；B队则胜了D队；

因为C队平B队、负A队，得分又是奇数，所以C队得1分，负给了D队．故D队胜C队，负A、B两队，所以D队得3分．

【答案】3分

【例 15】 5个足球队进行比赛，每个球队都与其他球队各比一场，胜方得3分，负方得0分，平

局各得1分．最后四个队分别得1分、2分、5分和7分，那么第五个队得 分． 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 每支队伍都打过四场比赛，显然，根据比赛规则，得1分的队伍只能是1平3负，得2

分的队伍只能是2平2负，得5分的队伍只能是1胜2平1负，得7分的队伍只能是2胜1平1负，不难得到下表：

从表中可以看出，这四个队共负了7场，胜了3队，由于每场比赛如果分出胜负那么就有一方负而另一方胜，所以5个队胜和负的总场次应该相等，所以第5队应该胜了4场，那么第5队得了12分．

【答案】第5队得了12分

【巩固】 甲、乙、丙、丁四个足球队进行单循环赛，就是每两个队之间都要比一场，胜者得3分，

负者得0分，平者各得1分．比赛结束后，甲队共得6分，乙队共得4分，丙队共得2分，那么丁队共得 分． 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 甲队得6分，只能是胜2场负1场；乙队得4分，只能是胜1场平1场负1场；丙队得2

分，只能是平2场负1场．因为甲没有平局，所以丙与乙、丁都是平局，负给甲．如果甲胜乙负丁，那么乙必负丁；如果甲胜丁负乙，那么乙必胜丁．所以丁与甲、乙的比赛必是

一胜一负，得3分，再加上与丙是平局，得1分，所以丁共得4分．

【答案】丁共得4分

【巩固】 四个足球队进行单循环比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，有一个

队没输过，但却排名倒数第一，你觉得有可能吗？如果可能，请举出这种情况何时出现，如果不可能，请你说明理由． 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 可能．A，B，C，D四个队 ，A胜B，B胜C，C胜A，D和A，B，C都打平．这

样的话，A，B，C都是4分，D是3分，D虽然不败但却难逃垫底厄运．

【答案】可能

【例 16】 德国队、意大利队、荷兰队进行一次足球比赛，每队与另两支队各赛一场。已知：（1）

意大利队总进球数是0，并且有一场打了平局；（2）荷兰队总进球数是1，总失球数是2，并且该队恰好胜了一场。按规则：胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分。问德国队得了______分。 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 由条件（2）知，荷兰队胜了一场，而不进球是不可能胜的，但它的总进球数只有1，说

明这场比赛它以1∶0取胜。又因为它总失球数2，所以另一场比赛以0∶2输了。再由条件（1）知：以2∶0赢荷兰队的不可能是意大利队（因为意大利队没有进球），只可能是德国队（记2分）。既然荷兰队输给德国队，那么它胜的一场一定是对意大利队，而且比分为1∶0。德、意两队以0∶0踢平（各记1分）。所以，德国队得了3分。

【答案】德国队得了3分

【巩固】 有A、B、C三个足球队，每两队都比赛一场，比赛结果是：A有一场踢平，共进球2个，

失球8个；B两战两胜，共失球2个；C共进球4个，失球5个，请你写出每队比赛的比分。 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 A与C踢成2比2；C对B是2比3；B对A是6比0。 【答案】A与C踢成2比2；C对B是2比3；B对A是6比0

【例 17】 第四届东亚男足邀请赛共有四支足球队进行单循环赛，即每两队之间都要进行一场比

赛，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分．比赛完成之后各队得分是四个连续的自然数，请计算出输给第一名的球队的得分是__________分． 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 由于每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，所以每场比赛两队的得分之

26场比赛，所以比赛完成之后各和为2分或者3分，四支球队进行单循环赛，共进行C4队总得分至少为12分，最多为18分，又各队得分是四个连续的自然数，而

123410，234514，345618，456721，所以各队得分只

可能为2,3,4,5或者3,4,5,6．

如果四队得分为3,4,5,6，那么总得分为18分，则每场比赛两队的得分之和都为3分，

即每一场比赛都不是平局，那么每一场比赛的两只队的得分都是3的倍数（3分或0分），那么每支队的总得分也都是3的倍数，而不可能出现有球队得4分或5分的情况，矛盾，所以四队得分不能为3,4,5,6，只能为2,3,4,5．

由于四队得分分别为2,3,4,5，所以第一名得5分，只能是胜一队而平两队，则这3场比

赛中与第一名平局的两队各得1分，输给第一名的队得0分，由于这三支队共得所以三队彼此之间的3场比赛共得9117分，而每场比赛共得2分或32349分，

分，所以只能为两场2分，一场3分，即这3场比赛中有两场平局，只有一场分出了胜负．

如果分出胜负的这场比赛发生在平了第一名的两支队之间，则它们与输给第一名的那支队

之间都是平局，则其中一支队在分出胜负的那场比赛中得到3分，在与输给第一名的那支队的比赛中又得到1分，这样它总共得到1315分，矛盾，所以平了第一名的两支队之间的比赛也是平局，输给第一名的那支队与这两支队的比赛一胜一平，它的得分为：

0134，即输给第一名的球队的得分是4分．

【答案】输给第一名的球队的得分是4分

【例 18】 1994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组．在小组赛中，这4支

队中的每支队都要与另3支队比赛一场．根据规定：每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分．已知：⑴这4支队三场比赛的总得分为4个连续奇数；⑵乙队总得分排在第一；⑶丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的．根据以上条件可以推断：总得分排在第四的是 队． 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】实验中学考题

【解析】 由于每场比赛的两支队伍的得分之和不是3分就是2分，而4支队伍共要打6场比赛，所

以最后4支队伍的得分总和在12到18之间．根据题意，这4支队伍的得分是4个连续奇数，只可能是1，3，5，7(因为3，5，7，9的和已超过18)，也就是说4支队伍的得分分别为1分，3分，5分，7分．它们的总得分为16分，比18分少了2分，说明全部比赛中有2场平局，其他场次都分出了胜负．由于丁队恰有两场同对方踢平，说明甲、乙、丙三支队之间的比赛没有平局．

根据题意可知乙得了7分，只能是两胜一平，所以乙胜了甲、丙，平了丁；那么丁平了乙、丙，则丁与甲的比赛丁胜了，丁共得5分(丁如果负了则得2分，分数与前面的分析不符)；所以最后剩下的一场比赛只能是甲胜了丙，甲共得3分，丙共得1分，所以总得分排在第四的是丙队．

【答案】总得分排在第四的是丙队

【例 19】 12个队参加一次足球比赛，每两个队都比赛一场，每场比赛中，胜队得3分，负队得0

分，平局则各得1分．比赛完毕后，获得第3名和第4名的两个队的得分最多可以相差 分． 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯

【解析】 要使第3名和第4名的分差最大，则第3名得分应尽量多，第4名得分应尽量少．

首先前3名的3个队与后9名的球队之间的比赛应当都获胜，而前3名之间有3场比赛，最多产生9分，所以第3名在这3场比赛中最多得3分，所以第3名最多得39330分；

后9名之间共有36场比赛，每场比赛至少产生2分，共产生72分，在这些比赛中，第4名至少得8分，所以第4名的得分至少是8分．

那么第3名和第4名的两个队的得分最多可以相差30822分．

【答案】22分

【例 20】 世界杯足球赛，每个小组有4支球队，每两支球队之间各赛一场，胜一场得3分，负一

场得0分，平局各得1分．每个小组总分最多的两支球队出线．如果在第一小组比赛中出现了一场平局，问：在第一小组中一支球队至少得多少分，一定能够出线？ 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯

【解析】 考察两支队之间进行比赛所获得的分数，如果产生胜负关系，那么两队总得分为3分，如

果平局，则总得分为2分．四支队伍相互间进行了6场比赛，如果不出现平局，应当得分总和为18分，但是出现了一场平局，因此总得分为18117分．一支队伍要确保出线，

1必须保证不可能出现两支比自己得分高的球队．因此其得分应大于总得分的，因此这支

32球队至少要得1735分，即至少得6分．很容易说明得6分一定出线，因为如果存在

3另外两支队伍出线，那么他们的得分应不小于6分，因此总得分将不小于18分，矛盾．另外，如果得分不到6分，那么这支球队最多只能得4分（因为得5分意味着两场平局，题目中告诉我们只有一场平局），这时候其他三支球队总得分为13分，如果分别为6分，6分，1分，那么4分的球队就不能出线了．

【答案】至少得6分

【巩固】 足球世界杯小组赛的每个小组有四个队参加单循环（每两个队之间都踢一场）比赛，每

组的前两名可以出线.其积分方法为：每胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．当两个组的积分相同时，以净胜球数（总进球数减去总失球数的差）的多少来定名次，净

胜球多的队排名靠前.已知某队以最低的积分出线了，那么这个队在小组赛中的积分是 分． 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】浙江省，小学数学活动课夏令营

【解析】 以最低积分出线，肯定是小组第二名．首先说明得1分的队肯定不能出线．得1分的队2负

1平，胜它的2个队至少各得3分，所以得1分的队不可能出线．然后说明，得2分可能出

线．假设小组中的四个队为甲、乙、丙、丁，甲队第一，乙队第二，甲队分别与乙、丙、丁的比赛都赢，而乙、丙、丁三队之间都是平局，则甲队得9分，乙、丙、丁三队各得2分，而这三个队中净胜球多的队即为出线的队．

【答案】2分

【巩固】 在世界杯小组赛上，每四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局

则两队各得1分．小组赛结束后，总积分高的两队出线，进入下一轮比赛，如果总积分相同，还要按进一步的规则排序．那么一个队至少要积几分才能保证本队必然出线？若有一个队总积分是5分，则这个队可能出线吗？ 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 4个队单单循环赛要赛6场，每场比赛最多产生3分，则6场比赛最多产生18分．如果某

队积6分，则剩下12分，可能另两个队也各得6分，这样就要按进一步规则排序，因此该队有可能不出线．如果某队积7分，则剩下11分，这样另外三个队中不可能再有两个队积分等于或超过7分，这样该队必然出线．因此一个队为了晋级下一轮，至少要积7分才能保证必然出线．若有一个队总积分是5分，则其它三个队共积18513（分），这个队可能排名前两名，所以有可能出线．

【答案】有可能出线

【例 21】 在一次“25分制”的女子排球比赛中，中国队以3:0战胜俄罗斯队．中国队3局的总分为

77分，俄罗斯队3局的总分为68分，且每一局的比分差不超过4分．则3局的比分分别是____:____、____:____、____:____．(不考虑这3局比分之间的顺序) 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空

【解析】 在25分制的比赛中，如果一个队得到25分而另一个队的得分少于24分，则得25分的队

获胜；如果一个队得到25分时另一个队得了24分，此时双方还要继续进行比赛，直到双方得分的差变成2分，得分多的那支队才获胜．本题中，由于752532，所以中国队三场比赛的得分可能为26分，26分，25分或27分，25分，25分．如果是26分，26分，25分，有两场超过了25分，说明俄罗斯有两场得分是26224分，另一场的得分是

68242420分，则有一局的比分为25:20，比分差大于4分，不满足条件．从而中国

队三场的得分分别为27分，25分，25分，俄罗斯有一场得分为27225分，另两场得分和为682543分，又另两场每场得分均不少于25421分，则另两场的得分应分别为21分和22分．因此3局的比分分别是27:25，25:21，25:22．

【答案】27:25，25:21，25:22

【例 22】 由A，B，C三个班中各出3名学生比赛长跑．规定第一名得9分，第二名得8分，第

三名得7分，……，第八名得2分，第九名得1分．比赛结果是三个班总分相等，而且九名学生没有名次并列的，也没有同一个班的学生获得相连名次的．如果第一名是C班的，第二名是B班的．那么最后一名是哪个班的？ 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 九名学生的总分为：12345678945．

由于三个班的总分相等，即每个班均为15分，将1—9这9个自然数，三个数一组分为3组，使每组之和都是15，只有以下两种情况： ⑴ 一组得分为：9，5，1； 二组得分为：7，6，2；

三组得分为：8，4，3． ⑵ 一组得分为：8，6，1； 二组得分为：9，4，2； 三组得分为：7，5，3．

在第一种情况中，二组、三组都有相连的数，即相连的名次，这不合题意，所以只能取第(2)组的数字．那么C班有第一名，得分是9，4，2；B班有第二名，得分是8，6，1；则

A班得分为7，5，3．可见最后一名是B班的学生．

【答案】最后一名是B班的学生

【例 23】 甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行乒乓球训练，每局2人进行比赛，另1人当裁判．每

一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时，发现甲共打了15局，乙共打了21局，而丙共当裁判5局．那么整个训练中的第3局当裁判的是 ． 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】南京市，青少年“科学小博士”思维训练系列活动

【解析】 本题是一道逻辑推理要求较高的试题．首先应该确定比赛是在甲乙、乙丙、甲丙之间进行

的．那么可以根据题目中三人打的总局数求出甲乙、乙丙、甲丙之间的比赛进行的局数． ⑴丙当了5局裁判，则甲乙进行了5局；

⑵甲一共打了15局，则甲丙之间进行了15510局； ⑶乙一共打了21局，则乙丙之间进行了21516局； 所以一共打的比赛是5101631局．

此时根据已知条件无法求得第三局的裁判．但是，由于每局都有胜负，所以任意连续两局之间不可能是同样的对手搭配，就是说不可能出现上一局是甲乙，接下来的一局还是甲乙的情况，必然被别的对阵隔开．而总共31局比赛中，乙丙就进行了16局，剩下的甲乙、甲丙共进行了15局，所以类似于植树问题，一定是开始和结尾的两局都是乙丙，中间被甲乙、甲丙隔开．所以可以知道第奇数局(第1、3、5、……局)的比赛是在乙丙之间进行的．那么，第三局的裁判应该是甲．

【答案】第三局的裁判应该是甲．

【巩固】 三人打乒乓球，每场两人，输者退下换另一人，这样继续下去，在甲打了9场，乙打了6场时，丙最多打几场？ 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯

【解析】 乙都只与丙打，丙可打9615（场），但甲比乙多打963（场），不算最后一场输赢，

甲应赢丙312（场），这样总场数为15213（场），丙打了13211（场）．

【答案】11场

【例 24】 三名学生进行了若干科目的考试，以考得的名次进行记分.考得第一名得分最多，其次是

第二名，第三名得分最少。各科都是如此记分.已知甲最后得22分，乙最后得9分，丙也是得9分.并且已知乙英语考试得了第一名，问数学第二是谁？ 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 由乙英语第一，至少乙得3分，且总分为9分．所以科目不会多于7科，且每科第一名至

多得8分。又由甲总分为22分，所以考试科目不少于3科。因为三人共得40分，而每科分配得分情况相同，故考试科目数应是40的约数，而3，6，7都不是40的约数，所以只可能是4科或5科。若4科，每科共为10分．按名次分配应有4种：(7，2，1)，(6，3，1)，(5，4，1)，(5，3，2)。由甲共得22分，且至多有3科第一(英语不是第一)，则后三种情况不成立，因为即便是3科第一，1科第二，总分也达到不了22分。又由乙得9分，且英语第一。如果按(7，2，1)分配，即便其他三科都是最后一名，得1分，总分也超过9分。所以，以上几种情况不能成立。若是5科，每科共为8分，按名次分配只有两种：(5，2，1)；(4，3，1)．而后一种也不能成立，原因仍然是不能与甲22分吻合。所以只有(5，2，1)符合题意。按照这种分配方案：乙的得分情况是5，1，1，1，1。甲的得分情况是5，5，5，5，2，且得2分的科目只能是英语，所以数学第二只能是丙。注：这是一道比较复杂的推理题，运用了约数等数学知识作为载体。

【答案】数学第二只能是丙

【例 25】 学校组织了一次投篮比赛，规定投进一球得3分，投不进倒扣1分，如果大明得30分，

且知他有6个球没有投进，那么大明共投了几个球？ 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 大明有6个球没有投进，要被扣掉6分，如果不考虑这6个球，大明应该得30636(分)，

规定投进一球得3分，36312(个)，所以，大明投进了12个球，加上未投进的6个球，大明共投了12618个球．

【答案】18个球

【巩固】 班里举行投篮比赛，规定投中一个球得5分，投不进扣2分．小立一共投了6个球，得了

16分，那么小立投中了几个球？ 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 如果小立6个球全部投中，应该得6530（分），实际上少了301614（分），投中一

个球得5分，投不进扣2分，投不进一个球就少527（分），所以一共没投进1472（个），投中了624（个）球．

【答案】4个球

【巩固】 振华小学组织了一次投篮比赛，规定投进一球得3分，投不进倒扣1分．小亮投了5个球，

投进了3个．那么，他应该得多少分？ 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 小亮投的5个球中，投进的3个球得到339(分)，而没有投进的2个球被扣掉

122(分)，于是他应得927(分)．

【答案】7分

【例 26】 有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场，胜得3分，负者得

0分，如果踢平，两队各得1分。现在甲、乙、丙分别得了7分、1分和6分，已知甲和乙踢平，那么丁得 分。 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛

【解析】 共进行了6场比赛，甲、乙；甲、丙；甲、丁；乙、丙；乙、丁；丙、丁；

甲得了7分，其中甲和乙踢平；则甲胜丙；甲胜丁； 乙得1分，甲和乙又踢平，则丙胜乙，丁胜乙； 丙得6分，甲又省乙，丙胜乙，则丙胜丁； 所有比赛，丁只胜过乙一次，所以丁得3分。

【答案】丁得3分

【例 27】 A、B、C、D、E五位同学进行乒乓球循环赛（即每2人赛一场），比赛进行了一段时间

后，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场，这时，E赛了 场。 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第13题 【解析】 A赛了4场，和B、C、D、E各赛一场

D赛1场，就是和A，所以不会与其他人比赛 B赛3场，就是和A、C、E赛的， C赛2场，由上已知只能是和A、B 所以E只和A、B赛过，故比赛了2场。

【答案】2场

【例 28】 A、B、C、D四支球队进行循环赛（即每两队赛1场），比赛进行一段时间后，A赛了

3场，B赛了2场，C赛了1场，这时，D赛了 场。 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第17题

【解析】 A和B、C、D各赛一场，C只和A赛一场，B和A、D各赛一场，所以D赛了2场 【答案】2场

【例 29】 三个武术队进行擂台赛，每队派6名选手，先由两队各出1名选手上擂台比赛，负者下

台，不再上台，胜者继续同其它队的一位选手比武，负者下台，和胜者不同队的又一位

选手上台，……，继续下去。当两队选手被击败时，余下的队即获胜。这时最少要进行 场比武。

【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第10题

【解析】 最少的情况是，两组全输，需要12场比武。

【答案】12场

【例 30】 甲、乙、丙三人打牌。第一局，甲输给了乙和丙，使得乙、丙手中的点数都翻了一

番。第二局，甲和乙赢了，从而甲、乙手中的点数翻了一番。最后一局，甲、丙获胜，两人手中的点数翻了一番。这样，甲、乙、丙三人每人都是二赢一输，并且每人手中的点数完全相等，可是甲发现自己输了100点。请问：开始时，甲手上有多少点？（每局三人的点数和保持不变） 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第15题 【解析】 设三局后每人手中都是x点 根据题意列表

甲 乙 x 丙 x 点数总和 3x 3x 3x 第三局后 x 第二局后 第一局后 x 2x 42x x x 27x4 开始时 13x 8x 27x8 3x （10分）

因为三局后甲手中的点数比开始时减少了100点，即 13x-x=100（12分） 8x=160

1313于是x=160×=260点（15分）

88【答案】260点

【例 31】 号码分别为2005，2006，2007，2008的4名运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛

的场数是他们号码的和被4除所得的余数。那么，2008号运动员赛了多少场？ 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第15题

【解析】 由于2008能被4整除，2005，2006，2007除以4的余数分别为1，2，3，所以2008号

运动员与2005号运动员赛了1场，与2006号运动员赛了2场，与2007号运动员赛了3场，总共赛了：1236（场）。

【答案】6场

【例 32】 甲、乙、丙、丁四个同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，规定胜者得2分，平

局各得1分，输者得0分。结果甲得第一．乙、丙并列第二，丁最后一名，那么乙

得 分。

【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，决赛

【解析】 3分，根据比赛结果，只能有两种情况：(1)甲全胜得6分，丁全负得0分，乙、丙之间平

得3分；(2)在(1)的情况下，改“甲全胜”为“甲只负丁”，结果甲得4分，乙、丙各得3分，丁得2分。

【答案】乙得3分

【例 33】 12个队参加一次足球比赛，每两个队都比赛一场，每场比赛中，胜队得3分，负队得0

分，平局则各得1分。比赛完毕后，获得第3名和第4名的两个队的得分最多可以相差 分。 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，6年级，决赛

【解析】 甲、乙、丙是前三名，他们与后九名的比赛全部获胜，他们之间是：甲胜乙，乙胜丙，丙

胜甲。甲、乙、丙各胜10场，负1场，都得30分；后九名之间全部是平局，各得8分。则最多可以相差22分。注：分数相同，名次可依据净胜球，进球数等比赛规则确定。

【答案】相差22分

【例 34】 4支足球队单循环赛，每两队都赛一场，每场胜者得3分，负者得0分，平局各得1分。

比赛结束，4支队的得分恰好是4个连续自然数。第四名输给第 名。 【考点】体育比赛 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，6年级，2009年，武汉外国语实验中学，初中招生试卷

【解析】 每场比赛如果分出胜负则对总得分贡献3分，平局则贡献2分。6场比赛，最多贡献18

分，最少贡献15分。四个连续自然数的和被4除余2，所以只可能是14或者18。如果是14，则为5，4，3，2，总共有两场分出胜负，四场平局，所以第三名只能是三场全平，剩下可知第一名胜第二名，第二名胜第四名，第一名和第四名打平。如果是18，则为6，5，4，3，但是此时六场比赛全分

【答案】第二名