第３４卷第１期 数学理论与应用 ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＡＬ ＴＨＥ０ＲＹ ＡＮＤ ＡＰＰＬＩＣＡＴ１ＯＮＳ Ｖｏ１．３４ Ｎ０．１ Ｍａｒ．２０１４ ２０１４年３月 实子矩阵约束下矩阵方程ＡＸ＝Ｂ的共轭梯度迭代解法 ￣ｐｐＥｔ芳周富照田时字 （长沙理工大学数学与计算科学学院，湖南长沙４１０１１４） 摘要本文研究了实子矩阵约束下矩阵方程ＡＸ：Ｂ及其最佳逼近的共轭梯度迭代解法．首先运用矩阵分 块将原方程ＡＸ＝Ｂ转换为２个低阶方程，利用共轭梯度的思想构造迭代算法；然后证明了算法的有限步终止 性；最后给出数值实例验证算法的有效性． 关键词 子矩阵约束共轭梯度迭代法有限步终止性最佳逼近 Ｃｏｎｊｕｇａｔｅ Ｇｒａｄｉｅｎｔ Ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｔｈｅ Ｍａｔｒｉｘ Ｅｑｕａｔｉｏｎ ＡＸ＝Ｂ ｗｉｔｈ ａ Ｒｅａｌ Ｓｕｂｍａｔｒｉｘ Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ Ｚｏｕ Ｙａｎｇｆａｎｇ Ｚｈｏｕ Ｆｕｚｈａｏ Ｔｉａｎ Ｓｈｉｙｕ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｃｈａｎｇｓｈａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ， Ｃｈａｎｇｓｈａ ４１０００４，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．ｔｈｅ ｃｏｎｊｕｇａｔｅ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｔｈｅ ｍａｔｉｒｘ ｅｑｕａｔｉｏｎ ＡＸ＝Ｂ ｗｉｔｈ ａ ｒｅａｌ ｓｕｂｍａｔｒｉｘ ｃｏｎ— ｓｔｒａｉｎｔ ａｎｄ ｉｔｓ ｏｐｔｉｍａｌ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｉｓ ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｆｉｓｔｒｌｙ，ｂｙ ｐａｒｔｉｔｉｏｎｉｎｇ ｍａｔｉｘ ｒＡ， ，Ｂ，ｔｈｅ ｐｒｉｍａｒｙ ｅｑｕａｔｉｏｎ ＡＸ＝Ｂ ｉｓ ｃｏｎｖｅｒｔｅｄ ｔｏ ｔｗｏ ｌｏｗｅｒ—ｏｒｄｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ；ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｉｄｅａ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｊｕｇａｔｅ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ．ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｉｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ．Ｔｈｅｎ ｉｔｓ ｌｉｍｉｔｅｄ ｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｉｓ ｐｒｏｖｅｎ．Ｆｉｎａｌｌｙ ｓｏｍｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｔｏ ｖｅｒｉｆｙ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ Ｓｕｂｍａｔｉｒｘ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ Ｃｏｎｊｕｇａｔｅ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ Ｌｉｍｉｔｅｄ ｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ Ｏｐｔｉｍａｌ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ １ 引言 记Ｒ 为全体ｍ ｘ ｉｔ阶实矩阵的集合；对给定矩阵Ａ，Ｂ∈Ｒ ，记＜Ａ，Ｂ＞＝ｔｒ（Ａ Ｂ） 为矩阵 与Ｂ的内积；ＨＡｌｌ＝￣／厂 百 ＝（ｆｒ（ＡｒＡ）） １为矩阵 的Ｆｍｂｅ ｉｕｓ范数；４（ｐ ： Ｐ ，）为矩阵 的Ｐ。行到Ｐ 行元素组成的子矩阵；Ａ（，ｑ ：ｇ ）为矩阵ｑ 列到ｑ 列元素组成的 子矩阵；Ａ（ｐ ：ｐ ，ｑ ：ｇ：）为矩阵Ａ第Ｐ 行到Ｐ 行和ｑ。列到ｑ 列相交处元素组成的子矩阵． 国家自然科学基金资助项目（批准号１１３７１０７２） 收稿日期：２０１４年３月ｌ２ １３ 实子矩阵约束下矩阵方程ＡＸ＝Ｂ的共轭梯度迭代解法 １３ 本文研究如下问题的共轭梯度迭代解法． 问题１给定Ａ∈Ｒ ，Ｂ∈Ｒ ， ∈Ｒｐ ，求Ｘ∈Ｓ，使 ＡＸ＝Ｂ，Ｘ（ｐ１：ｐ２，ｑｌ ｉｑ２）＝Ｘ， （１） 其中Ｓ＝Ｒ“ ，Ｐ２一Ｐ１＋１＝Ｐ，ｑ２一ｇｌ＋１＝ｑ． 问题２设问题１相容，且其解集合为Ｊｓ ，给定Ｘｏ∈Ｒ ，求 Ｅ Ｓ ，使得 一Ｘｏ ＩＩ 一Ｘｏ Ｉ１． （２） 子矩阵约束下的矩阵方程及其最佳逼近问题（也称矩阵扩充问题）来源于子系统的扩张 和结构动力模型的局部修正，具有广泛的应用背景，其研究已有许多成果（见文献［１—６］等）． 文献［３—４］分别就．ｓ为实矩阵、实对称矩阵、双对称矩阵及Ｈｅｒｍｉｔｅ—Ｈａｍｉｔｏｎ矩阵时研究了问 题有解的充分必要条件及其通解的表达式；文献Ｅ５—６］分别就Ｊｓ为对称正交对称和双反对称 矩阵时研究了问题的共轭梯度迭代解法．本文将就５为一般实矩阵时研究问题的共轭梯度解 法，而文献［５—６］主要采用将原矩阵方程组转为一个高阶方程的办法，本文主要利用矩阵分 块将原矩阵方程组转化为２个独立的低阶方程的办法，从而减少工作量． ２问题１的共轭梯度迭代解 为使问题１转化方便，首先对（１）式中的Ａ，Ｂ， 进行分块，记 Ａ＝（Ａｌ，Ａ２，Ａ３）， Ｂ＝（ １，Ｂ２， ３）， ， ，Ｌ ３ 、，４ 、 ＝［兰 兰三 ］三， （Ｊ）：［ ］ｃ ＝・，２，３ ・ ５ （６） ｚ＝（ ），Ｆ＝曰ｚ—Ａｚ ，ｃ ｚ＝ ・ 将（３），（４），（５）式代入（１）式，注意（６）式记号，（１）式可转换为 １４ 数学理论与应用 ＡＹ＝ＧＦ， 于是问题１转化为如下等价的２个独立问题 问题３给定Ａ∈Ｒ ，Ｇ∈Ｒ ‘¨“，求Ｙ∈Ｒ ¨”，使得 ＡＹ＝Ｇ． 问题４给定Ｅ∈Ｒ ‘ ，Ｆ∈Ｒ ，求Ｚ∈Ｒ““ｈ ，使得 ＥＺ：Ｆ． 由文献［７］易得求解问题３和问题４的共轭梯度迭代算法如下． 求解问题３的算法１： （１）任取初始矩阵ｙＩ∈Ｒ “ ，计算 Ｍｔ＝Ｇ—Ａ ，ＮＩ＝Ｓｌ＝Ａ Ｍｌ，ｋ：＝１； （２）－Ｈ－￣Ｌ ＋ ．ｓ ； （３）计算 ＋。＝：Ｇ—Ａｌ ＋。，Ⅳ ＋ ＝ＡｒＭｋ＋ｌ，Ｓ￣＋ｌ：＝Ｊ７ｖ ＋。—．！ — ｓ ； （４）￣１１果Ｍｋ＋。＝０，或者Ｍｋ＋。≠０，Ｓ ＝０，迭代中止，否则令ｋ＝：｜ｉ｝＋１，转（２）． 求解问题４的算法２： （１）任取初始矩阵Ｚ。∈Ｒ ”Ｈ ，计算 Ｕｌ＝Ｆ—ＥＺｌ，Ｖ１＝Ｗｌ＝Ｅ Ｕｌ，ｋ：＝１； （２）计 孙 ； （３）计算 ＋。＝Ｆ－ＥＺ￣＋Ｉ， ＋ ＝Ｅ 小 ＋ ＝ ＋。一 ； （４）如果Ｕ ＝０，或者Ｕ ≠０，Ｗｋ＋。：０，迭代中止，否则令ｋ＝： ＋１，转（２）． 在文献［７］中，关于算法１和算法２的收敛性有如下结论． 引理２．１… 设问题３相容，则对任一初始矩阵 ∈Ｒ “ ，迭代算法１经过有限步终 止于问题３的一个解；特殊的，若取初值Ｙ ＝ＡｒＨ２（其中Ｈ２∈Ｒ “ ），特别取Ｙ ＝０∈ Ｒ “ 时，迭代算法１经过有限步终止于问题３的唯一极小范数解． 引理２．２ 设问题４相容，则对任～初始矩阵Ｚ。∈Ｒ‘ ，迭代算法２经过有限步终 止于问题４的一个解；特殊的，若取初值ｚ ＝Ｅ （其中 ∈Ｒ～ ），特别取Ｚ，：０∈Ｒ‘ 实子矩阵约束下矩阵方程ＡＸ＝Ｂ的共轭梯度迭代解法 １５ 时，迭代算法２经过有限步终止于问题４的唯一极小范数解． 接着讨论求解问题１的共轭梯度算法及其收敛性．结合算法１和２，易得求解问题１的迭 代算法３． 算法３： （１）任取初始矩阵Ｙ１∈Ｒ ‘¨”，Ｚｌ∈Ｒ‘ 舢 ，计算 Ｍ１＝Ｇ—ＡＹ，，Ｎｌ＝Ｓ１＝Ａ Ｍ１， ＝Ｆ一 ｌ， ＝Ｗ１＝Ｅ Ｕｌ，．ｉ｝：＝１； （２）ｉｆ３ｇ Ｙ， （３肘算 ＋ ＋ ； ＝Ｇ—Ａｙ ＋。，，Ｖ ＋。＝Ａ ＾ ＋。，５ ＋。＝Ⅳ ＋。一！二 。 ＋ ｓ ， Ｅ，＾＋，＝Ｆ－ＥＺｋ＋１， ＋。＝ ￡ ＋ ， ＋ ＝ ＋。一！三 １ ； （４）当 ＋。＝０，或者Ｍｋ＋ ≠０，Ｓ ＝０时记为情况①；当Ｕｋ＋ ＝０，或者 ＋。≠０， ＋ ＝ ０时记为情况②．如果情况①和情况②同时成立时，迭代中止，输出 ｒ ＋ｌ（１：ｒ，１： ） Ｚ （１：ｒ，） ＋ｌ（１：ｒ，ｈ＋１： ＋ｔ） ］ Ｘ ＋ｌ＝Ｉ ｙ ＋ｌ（ｒ＋１：ｒ＋Ｐ，１： ）Ｌ ＋】Ｘ ＋ｌ（ｒ＋１：ｒ＋ｓ，） ＋ｌ（ｒ＋１：ｒ＋Ｐ，ｈ＋１：，ｌ＋ｔ）ｌ， ＋ｌ（ｒ＋Ｐ＋１：，ｌ，ｈ＋１： ＋ｔ）Ｊ （ｒ＋Ｐ＋１：ｎ，１：．Ｉ１） 否则令ｋ＝：．ｊ｝＋１，转（２）． 由引理２．１和引理２．２易得算法３的收敛性． 定理２．１设问题１相容，则对任一初始矩阵Ｙ１ Ｅ Ｒ ‘¨“，Ｚ。∈Ｒ ”’ ，迭代算法３经 过有限步终止于问题１的一个解；特殊地，若取初值 ＝Ａｒ （其中 ∈Ｒ “’），Ｚ。＝ Ｅ Ｈ３（其中Ｈ３ Ｅ Ｒ ），特别取ｙＪ＝０ Ｅ Ｒ ‘¨‘ 且Ｚ ＝０ Ｅ Ｒ‘ 舢 时，迭代算法３经过有限 步终止于问题１的唯一极小范数解． ３ 问题２的共轭梯度迭代解 若问题１相容，易知其解集合Ｓ 为一非空闭凸集，则对任意给定的Ｘｏ∈Ｒ ，必存在唯 一的 ∈ＳＥ使得ＩＩ 一Ｘｏ ｌｌ＝ ｍ ｉｎＩ —Ｘｏｌ ｌｌ・ １６ 数学理论与应用 ｜ｓ 非空，那么对于任意Ｘ Ｅ ＳＥ，有 ＡＸ＝Ｂ （Ｘ一 ）＝Ｂ—Ａ ０． 记 ＝Ｘ—Ｘｏ， ＝Ｂ—Ａ ； （ｐ ：Ｐ２，ｑ。：ｑ２）＝ 一Ｘｏ（ｐ１：ｐ２，ｑｌ：ｇ２）＝ ．则求问题２ 的解等价于求如下相容矩阵方程 ＡＸ＝ ，２（ｐ１：Ｐ２，ｇ１：ｑ２）＝ （７） 的唯一极小范数解． 运用算法３计算出（７）式的唯一极小范数解 ，从而可得问题２的最佳逼近解 ＝ ． ＋ ４数值实例 例给定Ａ，Ｂ，Ｘ（２：３，３：５）如下： １．７ １．６ ２．３ １．１ １．０ ０．８ ０．９ ２．０ ３．２ １．５ Ａ＝ １．０ １．８ ４．０ ２．０ ３．０ １．１ １．７ ２．８ １．７ Ｏ．８ ０．８ １．８ ５．１ ４．５ ５．０ ， ２４．４ ２０．１ ３０．２ １８．９ ２２．２ ３３．２ ３０．０ ３１．０ ２０．８ ２３．６ Ｂ＝ ３８．２ ３６．８ ４１．４ ３６．６ ３６．０ ２６．３ ２２．０ ３２．２ １９．４ ２２．２ ４３．１ ４５．６ ４５．５ ５１．１ ４６．４ ３ ＝ （１）求问题１的解； （２）给定 二 二 １．０ ２．０ ３．０ ６．０ ４．０ ５．０ ２．０ ３．０ １．Ｏ ３．Ｏ Ｘｏ ３．０ ２．Ｏ ２．５ ３．０ ４．５ ２．５ ２．０ ４．５ １．０ ２．０ １．５ ９．０ １．０ ６．０ ４．Ｏ 求问题２的解． 解（１）对于给定Ａ， ，易判断矩阵方程 ：Ｂ是相容的．若给定初始矩阵Ｙ．＝０，Ｚ。＝０， 取 ＝０．５×１０～，ＩＩ ｌＩ≤ 作为迭代中止的条件，在ｍａｔｌａｂ环境中运用迭代算法３自动求解 到问题１的极小范数解为： 实子矩阵约束下矩阵方程ＡＸ＝Ｂ的共轭梯度迭代解法 一ｌ７ ０．２７４３ —０．２６３９ —０．２９６９ —０．２６１２ —０．２５９１ ０．４３４７ —０．４１８３ —０．４７０４ —０．４１３８ —０．４１０６ ０．９６９６ —０．９３２９ —１．０４９２ —０．９２３０ —０．９１５７ ０．４９２３ —０．４７３７ —０．５３２８ —０．４６８７ —０．４６５０ ０．７４３４ —０．７１５３ —０．８０４５ —０．７０７７ —０．７０２１ —Ｘ＝ ｌ０＝ ———（２）令 ＝Ｘ一 ， ＝Ｂ—Ａ ， ＝ 一Ｘｏ（ｐ。：ｐ２，ｇ１：ｇ２）；取 ＝０．５×１０～，Ｉ ｌｌ≤ 作为迭代中止的条件，运用算法３求得问题２的解为： １．５２１５ ５．８２６４ ＝１．４２６６ １．０９１４ ３．８０９４ ５．７２１８ ３．４６８９ ４．２８２６ ０．５５９２ ２．１５８４ 丘＝ ４．８４３２ ３．４３６０ ２．９１３３ —０．０２６６ ５．３６０８ ２．０１６９ ２．６２２９ ０．９７０９ ７．４４６ｌ ５．９５２７ ０．５００８ １．０４６８ ３．１９３５ ５．２４６２ ２．５６０７ 参考文献 ［１］ｚ．Ｙ．Ｐｅｎｇ，Ｘ．Ｙ．Ｈｕ，Ｌ．Ｚｈａｎｇ．Ｔｈｅ ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｂｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｍａｔｉｒｃｅｓ ｗｉｔｈ ａ ｓｕｂｍａｔｒｉｘ Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ［Ｊ］． Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｌｉｎｅａｒ Ａｌｇｅｂｒａ、ｖｉｔｌｌ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００４，１ １：５９—７３． ［２］Ｙｏｎｇｘｉｎ Ｙｕａｎ，Ｈｕａ Ｄａｉ．Ｉｎｖｅｒｓｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｆｏｒ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｍａｔｉｒｃｅｓ ｗｉｔｈ ａ ｓｕｂｍａｔｒｉｘ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｎｕ— ｍｅｒｉｃａｌ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００６（４）：３４５—３５４． ［３］彭振赞．几类矩阵扩充问题和几类矩阵方程问题［Ｄ］．长沙：湖南大学，２００３． ［４］龚丽莎．关于子矩阵约束下矩阵方程问题的研究［Ｄ］．长沙：湖南大学，２００６． ［５］周富照，黄雅．子矩阵约束下三类矩阵方程的对称正交对称迭代解法［Ｊ］．长沙交通学院学报，２００８，２４ （４）：８７—９２． ［６］黄雅，周富照，郭婧．子矩阵约束下三类矩阵方程的迭代解法［Ｊ］．汕头大学学报，２００９，２４（１）：１—７． ［７］彭亚新．求解约束矩阵方程及其最佳逼近的迭代法的研究［Ｄ］．长沙：湖南大学，２００４．