ｓＨＵＸＵＥ７ＩＡｏＹｕ蒸 囊 ３ ３ 陕西省安康市汉滨区江北高级中学关键词：基本不等式最大值最 小值和定积定 教材：普通高中课程标准实验教科 书（北师大版）必修５。 教学目标： 知识与技能通过探究实例过程， 体会用基本不等式求简单的最大（小）值 问题。 １ ｙ ７ ２ ６ ３ ５ ４ ４ ５ ３ ６ ２ ７ １ ‘李振富 ｘｙ ７ １２ １５ １６ ｌ５ １２ ７ 过程与方法通过探究实例过程，领 悟利用基本不等式求简单的最大（小）值问 题所满足的条件“～正、二定、三相等”。 情感态度与价值通过问题情境的 创设，诱发学生的求知欲；通过规律的推 导体会“特殊——一般——特殊”的认知 规律，发展学生的数学探究能力 通过梯 次的变式训练，培养学生克服困难的意 志；通过积极参与探究活动，培养学生合 作意识及数学表达能力。 教学重点：掌握基本不等式求最大 （小）值。 教学难点：基本不等式求最值的准 确运用。 教学方法：“尝试指导，效果回授”教 学法。 学法指导：演示法、讲解法、合作探 究法、引导发现法及练习法。 媒体展示：借助ＰＰＴ软件展示引例 及变式训练，增大课堂容量，优化课堂结 构，提高课堂教学效果。 教学过程： 活动一：概念复习。导入新课 基本不等式的概念：如果ａ、ｂ都是正 数，那么一ａ＋ｂ≥ ［ 解：设矩形的长ｘｃｍ宽ｙｃｍ，则 ＋＇，＝８，由基本不等式得： ｙ≤１６，当且仅 当 ＝ ＝４时，等号成立。所以有，边长为 ４ｃｍ的正方形的面积最大。 结论总结：ｘ．ｙ都为正数时，若 ＋ｙ＝ｓ （和为定值），则当 ＝ｙ时，积ｘｙ取得最大 同时等号成立， 当ｘ＝５，ｙ＝２时， ｕ ＋ ＝ｌｇｘｙ＜￣Ｉｇｌ０＝１，即Ｍ有最 大值１。 点评：“易——难”培养学生的思维 能力和科学意识，发展演义推理能力。 活动四：巩固练习。深化新知 ．．练习：已知０＜ ＜妻，试用不同的方 法求：函数ｙ＝ｘ（３－２ｘ）的最大值。 解：由题意知０＜ ＜ ， 。．值薯。 问题２：在面积为１６ｃｍ 的所有不同 形状的矩形中，边长为４ｃｍ的正方形的 周长最小吗？ 媒体展示 （１）出示问题２参照结果。 （２）比较ｘ＋ｙ值的大小关系，总结 ｘ＋ｙ变化规律。 ｌ ，， ｘ＋ｙ １６ １ ７ ．’．．３＜一２ｘ＜０，即０＜３－２ｘ＜３， Ｙ＝ （３－２ｘ） ～＝ ×［（２ ）（３—２ ）］ ２ ８ １Ｏ ４ 丑 ８ ８ ２ １０ １６ １ １ ７ ｝ｃ ｝×｝寺。２ ４ ８ 且仅当２ｘ＝３—２ｘ，即 ＝÷时等 号成立。 ・．．结论总结 ，，都为正数时，若ｘｙ＝ｐ （积为定值），则当ｘ＝ｙ时，和取得最小值 ２、／ｐ。 活动三：应用举例，巩固新知 例１ 设 ，Ｙ为正实数，且２ｘ＋５ｙ ２０，求：“ ｙ的最大值。 解：‘．‘ ＞０， ＞０，．’．２ ＞０，ｍｙ＞０， 由基本不等式得： 原函数的最大值为罢一。 ＝、研‘．‘≤ ，当且仅当ａ＝ｂ时， （ ２ ＋５ｙ＝２Ｏ１．．．、／ｌＯｘｙ≤１０，即 等号成立，其中称 ［ 为ａ．ｂ的算术平 ≤１Ｏｏ 当且仅当２ｘ＝５ｙ， 均数，称 为。、ｂ的几何平均数。 活动二：诱导尝试，探究新知 问题ｌ：若把一段１６ｃｍ长的细铁丝 弯成形状不同的矩形，如边长为４ｃｍ的 正方形：长５ｃｍ宽３ｃｍ的矩形：长６ｃｍ宽 ２ｃｍ的矩形……同学们会发现哪一个矩 形的面积最大？ 教师活动 （１）出示问题。 ｆ２）分组给学生发等长铁丝，弓ｊ导每 组学生以不同的长、宽作矩形并统计矩 形面积，比较面积值的大小关系？ 学生活动 （１）阅读问题１。 （２）口算各自的矩形面积，同组比较 面积值的大小关系。 媒体展示 （１）出示问题１参照结果。 （２）比较面积值的大小关系，总结矩 形面积变化规律。 即有｛ ２ｘ＋ Ｓｙ ｏ得： ［ 一 －。 ｙ＝ｃ 活动五：全课小结。内化新知 （１）自主小结：①对自己——谈本节 课有哪些收获？②对同桌——谈在学习 本节课内容中注意什么？③对老师—— 谈本节课学习中还有那些疑惑？ （２）教师概括小结，重点强调： 本节课我们通过探究凑项，充分注 意利用基本不等式的：“一正、二定、三相 等”三个条件。利用基本不等式能解决： 和定积最小、积定和最大这类求最值问 题。显然体现了不正变正，不定变定的过 程，但是我们对于那些不等能否变等应 用基本不等式呢？如下例请同学们课后 ‘ｘ＝５＞０，ｙ＝２＞０满足题意， 同时等号成立， 当ｘ＝５，ｙ＝２时， “＝ ≤１Ｏ，即“有最大值１０。 点评：由本例知利用基本不等式时， 应注意三个条件：“一正、二定、三相等”。 变式：设 ，Ｙ为正实数，且 ２ｘ＋ｍｙ ２０，求： ＋ 的最大值。 ．． ．思考：求函数ｙ＝＿．尝兰 最值７ 、／ ４ 课后总评： 解：・．・ ＞０，Ｙ＞０ ．２ｘ＞０，５ｘ＞０ 由基本不等式得： ～ ‘．’ ≤ ＋５ｙ ２０， 、／，＿ａ ≤１０，即 ≤１０。 当且仅当２ｘ＝５ｙ， ・．．鹏 ／Ｌ ｘ＝ Ｖ ・．。得： 【Ｖ＝ 。ｘ＝５＞Ｏ，ｙ＝２＞０满足题意 ２０１０・１５ 本课教学依据学生、教材实际，遵循 “教学设计问题化，教学过程活动化，活 动过程练习化，练习过程要点化，要点问 题目标化，目标确定课标化”的课程理 念。在不违背新课程标准要求，不破坏学 科知识的科学性、系统性的前提下，对教 材进行适当调整重组，并通过“概念复 习，导入新课——诱导尝试，探究新 知一应用举例，巩固新知——巩固练 习，深化新知——全课小结，内化新知” 五个活动展示教学流程。以学生学习活 动为中心，不断创造生障碍，引领学生进 行深度尝试探索。变式练习由易到难，让 思维在问题解决中成长，让问题解决在 思维中拓展。